不動点反復法

定義と性質

関数の不動点 (fixed-point) とは関数によって自分自身を得る点のこと。つまり \(f(x) = x\) が成り立つ点 \(x\) は関数 (写像) \(f\) の不動点である。

不動点反復法 (fixed-point iteration) は不動点の近似解を求める数値解析方法である。

実数で定義される関数 \(f\) と \(f\) 上の点 \(x_0\) が与えられたとき、不動点反復法は以下の数列で表される。\[ x_{n+1} = f(x_n), \ \ n = 1, 2, \cdots \] ここで \(x_0, x_1, \cdots\) は不動点 \(x\) に収束することを期待する数列である。

\(f(x) = 0\) の不動点近似を求める場合、\(x = g(x)\) と変形し \(x_{n+1} = g(x_n)\) という漸化式とみなして数列化を行う。

参照

• Fixed-point iteration (Wikipedia)
• 不動点 (Wikipedia)