Mathematics

Takami Torao
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エンジニアリングというよりは数学向けの話。

\(\def\vector#1{\boldsymbol{#1}}\)

数値解析

解析学

ラグランジュの未定乗数法

ラグランジュの未定乗数法 (method of Lagrange multiplier) は制約付き最適化問題で極値を求めるための手法である。ある 1 つ以上の条件 \(g(x)=0\) の下で関数 \(f(x)\) が最大値/最小値を取ることを式 (\(\ref{optimal_consumption}\)) のように表す。…

2017年9月10日(Sun)

不動点反復法

集合 \(X\) からそれ自身への写像 \(f\) が与えられたとき、\(f(x)=x\) を満たす元 \(x\) を不動点 (fixed-point) または固定点と言う。グラフ上では、連続関数 \(f:\mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}\) の不動点は曲線 \(y=f(x)\) と対角線 \(y=x\) の交点の \(x\) 座標である。…

2017年10月6日(Fri) 作業中

マルコフ連鎖

時刻やステップの推移で状態空間 \(\{1, 2, \ldots, k\}\) のいずれかの値を持つ確率変数について考える。ある時点 \(t\in(0, 1, \ldots)\) での確率変数を \(x^{(t)}\) とする。…

2017年10月10日(Tue)

指数平滑化法

指数平滑化法 (exponential smoothing) は時系列データを平滑化する代表的な時系列分析手法。観測値の中でより新しいデータに大きな重みを設定し、過去になるほど指数関数的に重みを減少させた期待値 (移動平均) を算出する。…

2018年1月22日(Mon)

Holt-Winters 法

ホルト-ウィンターズ法 (Holt-Winters method) は指数平滑化法における時系列の変動にトレンドと季節変動を追加し、それぞれの指数平滑の重ね合わせを期待値として算出する方法。…

2018年1月31日(Wed) #HoltWinters

初等関数

特殊関数

代数学

組合せ

確率分布

ベルヌーイ分布

結果が {0, 1}、{true, false}、{OK, NG} といった 2 値しかとりえない独立した事象の試みをベルヌーイ試行 (bernoulli trial) と呼ぶ。これらの結果は統計で扱う便宜上 \(b \in \{0,1\}\) に置き換えて考える。…

2017年10月4日(Wed)

二項分布

試行において 1 が観測される確率 \(p\) のベルヌーイ試行を \(n\) 回行ったとき (あるいは \(n\) 個同時に行ったとき) に 1 が \(x\) 個観測される確率は \(p\) と \(n\) をパラメータとした以下の確率質量関数で表される。…

2017年9月30日(Sat)

カテゴリカル分布

それぞれ独立した確率 \(p_k\) を持つ \(K\) 個の事象 (カテゴリカル変数; categorical variable) が存在し、1 回の独立した試行でそのいずれか一つが観測される離散確率分布をカテゴリカル分布 (categorical distribution) と呼ぶ。…

2017年10月2日(Mon)

多項分布

独立した \(K\) 個の事象 \(k \in \{1, 2, \ldots, K\}\) のいずれか一つが観測される確率をそれぞれ \(\vector{p} = (p_1, p_2, \ldots, p_K)\) とする。…

2017年9月30日(Sat) #multinomial

ベータ分布

ベータ分布 (beta distribution) は以下の式で表される連続確率分布。確率変数は \(0 \lt x \lt 1\) の範囲を取る。\( P(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}, \,\,\, \alpha \gt 0, \beta\gt 0 \) ここで \(B(\alpha,\beta)\) はベータ関数である。…

2017年10月8日(Sun)

ディリクレ分布

ディリクレ分布 (dirichlet distribution) は独立した事象 \(k \in \{1, 2, \cdots, K\}\) がそれぞれ \(x_k=\alpha_k - 1\) 回観測されたときに各事象の生起確率が \(p_k\) である確率を示す連続した確率密度関数。…

2017年9月10日(Sun)

ポアソン分布

単位時間あたりに平均 \(\mu\) 回観測される事象が、単位時間あたりに \(r\) 回観測される確率はポアソン分布 (poison distribution) に従う。\( P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!}, \ \ r=0,1,\ldots\s \)

2017年10月19日(Thu) 作業中

カイ二乗分布

\(\vector{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_k)\) が標準正規分布に従う確率変数であるとき、その自乗和 \( Z = \sum_{i=1}^k x_i^2 \) は自由度 \(k\) のカイ二乗分布に従う (\(\chi_k^2\) と表す)。…

2017年10月1日(Sun) 作業中

統計的推定

ベイズ統計

疑似乱数

アルゴリズムも参照。

統計学

グラフ理論