ベルヌーイ分布

Takami Torao
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0 = 黒、1 = 赤として赤の出る確率 \(p\) を調整できるベルヌーイ試行のシミュレーション。+1 ボタンを押すと試行を 1 回行う。


\(\hat{x}=\)0 , \(n=\) 0 , 期待値 \(E=\) 0 , 分散 \(\sigma^2=\) 0 , 平均 \(\bar{\hat{b}}=\) 0 , 標準誤差 \(\sigma_{\hat{b}}=\) 0
\(b\) 0 1
確率 \(P(b)\)
\(x_b\)期待値 \(nP(b)\)
観測回数 \(N_b\)

定義と性質

結果が {0, 1}、{true, false}、{OK, NG} といった 2 値しかとりえない独立した事象の試みをベルヌーイ試行 (bernoulli trial) と呼ぶ。これらの結果は統計で扱う便宜上 \(b \in \{0,1\}\) に置き換えて考える。

ベルヌーイ試行において確率 \(0 \leq p \leq 1\) で 1 が出る場合 \(\sum_{b=0}^1 P(b) = 1\) より: \[ \begin{align*} P(b) & = \left\{\begin{array}{ll} p & (b = 0) \\ 1 - p & (b = 1) \end{array} \right. \\ & = p^b(1-p)^{1-b} \end{align*} \]

この \(p\) をパラメータとした \(b\) の確率分布 \(P(b; p)\) をベルヌーイ分布 (bernoulli distribution) と呼ぶ。ベルヌーイ試行を \(n\) 回行ったときの 1 の観測回数の分布は二項分布で表される。また 2 値ではなく \(k\) 値に一般化した分布はカテゴリカル分布となる。

アルゴリズム

ベルヌーイ試行関数

呼び出しごとに確率 \(p\) で true を返すベルヌーイ試行関数を考える。この場合、一般的なプログラミング言語で用意されている \([0, 1)\) の範囲を取る一様疑似乱数が \(p\) より小さいかで判定すれば良い。

def trial(p:Double):Boolean = math.random() < p

なお関数に与えられた p が \(0 \leq p \lt 1\) の条件を満たしていない場合の対処は省略している。実行結果は以下の通り。

scala> trial(0.6)
res1: Boolean = false

scala> trial(0.6)
res0: Boolean = true

scala> trial(0.6)
res1: Boolean = true

確率関数

この程度の条件であれば実装上はべき乗を使用するより if で分岐したほうが計算量が少なくコードの可視性も損ねない。

def p(p:Double)(b:Boolean):Double = if(b) p else (1 - p)

上記は Scala のカリー化を使用している。引数 p=0.6 を指定した時点でパラメータ \(p=0.6\) を束縛した関数 (つまり確率分布が特徴づけされた確率関数) が得られるので確率分布を扱う上では便利かもしれない。

scala> val p6 = p(0.6) _
p6: Boolean => Double = $$Lambda$1087/1558931350@2aa176de

scala> p6(true)
res0: Double = 0.6

scala> p6(false)
res1: Double = 0.4

scala> p(0.75)(true)
res2: Double = 0.75

参照