カイ二乗分布

定義と性質

\(\vector{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_k)\) が標準正規分布に従う確率変数であるとき、その自乗和 \[ Z = \sum_{i=1}^k x_i^2 \] は自由度 \(k\) のカイ二乗分布に従う (\(\chi_k^2\) と表す)。確率密度関数は \[ f(z;k) = \frac{e^{-\frac{1}{2}z}z^{\frac{1}{2}k-1}}{2^{\frac{1}{2}k}\Gamma(\frac{1}{2}k)}, z \gt 0 \] 平均 \(k\)、分散 \(2k\)、最頻値は \(k \leq 2\) のとき 0 となりそれ以外では \(k-2\)。カイ二乗分布はガンマ分布の特別な場合。\(k=2\) のときカイ二乗分布は指数分布と一致する。