群論

概要

集合とその演算や作用によって定まる構造を代数的構造という。ある集合 \(G\) 上の要素 \(a,b \in G\) に対して \(c = a \ast b \in G\) となるような何らかの演算 \(\ast\) が定義されているとき、集合 \(G\) は代数系であり \((G,\ast)\) や単に \(\mathbb{G}\) と表される。

Table of Contents

1. 概要
2. 群・環・体
3. 群
   1. 巡回群
   2. 加法群と乗法群
4. 写像
   1. 準同形写像・同型写像
   2. 線形性・双線形性・多重線形性
   3. 双線形写像
5. 参考文献

群・環・体

集合 \(G\) 上に定義されるある二項演算子 \(*\) が次の 1, 2, 3 の条件を満たすとき、集合 \(G\) は演算 \(*\) のもとで群 (group) であり \(\mathbb{G}=(G,*)\) のように表す (単位元 \(e\) を持つとき \((G,*,e)\) と表すこともある)。

1. 結合律 (associative law): \(\forall a, b, c \in G\);   \((a * b) * c = a * (b * c)\)

   集合 \(G\) に属する任意の元 \(a\), \(b\), \(c\) に対して \(a * (b * c) = (a * b) * c\) となる。

2. 単位元 (identity element): \(\exists e \in G\), \(\forall a \in G\);   \(a * e = e * a = a\)

   集合 \(G\) に属する任意の元 \(a\) に対して \(a * e = e * a = a\) となる元 \(e \in G\) が存在する。

3. 逆元 (inverse element): \(\forall a \in G\), \(\exists a' \in G\);   \(a * a' = a' * a = e\)

   集合 \(G\) に属する任意の元 \(a\) に対して \(a * a' = a' * a = e\) となる \(a' \in G\) が存在する。

また 1 のみを満たす集合と演算を半群 (semigroup)、1, 2 のみを満たす集合と演算をモノイド (monoid) と呼ぶ。群の性質に加えて次の 4 も満たす集合は可換群 (commutative group) またはアーベル群 (abelian group) である。

4. 交換律 (commutative law): \(\forall a, b \in G\);   \(a * b = b * a\)

   集合 \(G\) に属する任意の元 \(a\), \(b\) に対して \(a * b = b * a\) となる。

交換律は演算の二つのオペランド (被演算子) を互いに入れ替えても結果が変わらないことを示している。交換率を満たす演算は可換であると言う。

集合 \(G\) 上の 2 種類の二項演算、加法と乗法で定義された代数系で以下の 5, 6, 7 を満たすものは環 (ring) である。

5. 集合 \(G\) は加法に対して可換群となる。

6. 集合 \(G\) は乗法に対して半群となる。

7. 分配律 (distributive law): \(\forall a, b, c \in G\);   \(a(b+c)=ab + ac\), \((a+b)c = ac + bc\)

   集合 \(G\) に属する任意の \(a\), \(b\), \(c\) に対して \(a(b+c)=ab + ac\) かつ \((a+b)c = ac + bc\) である。

乗法に対して可換群となる環を可換環 (commutative ring) と呼ぶ。

環の性質に加えて次の 8 のすべての条件を満たすものは体 (field) である。

8. 乗法に対して可換で、単位元 \(e\) が存在し、零元 0 以外のすべての元に逆元が存在する。

可換環 \(R\) の部分集合 \(I \subset R\) が次の 9, 10 の条件を満たすとき、\(I\) は \(R\) のイディアル (ideal) である。

9. \(I\) が加法に対し \(R\) の部分群となる。

10. \(\forall a \in I\), \(\forall b \in R\);   \(a b \in I\)

可換環 \(R\) の任意の元 \(a\), \(b\) に対して \(a + i = y\) となる元 \(i\) が \(R\) のイディアル \(I\) に含まれるとき、

1. ^*乗法に対しては零元 \(0\) 以外。

群

群を構成する集合の要素を元 (element) と呼ぶ。\(a^m=e\) となるよう自然数 \(m\) が存在するとき元 \(a\) は有限位数であり、そのような \(m\) の最小値を元 \(a\) の位数と呼ぶ。どのような自然数 \(m\) についても \(a^m\neq e\) であるとき \(a\) は無限位数であると言う。

一つの元のみからなる集合 \(G=\{x\}\) は演算を \(x * x = x\) のように定義できるため群であり自明な群 (trivial group) と呼ぶ。

\(G\) が有限集合のとき、つまり位数が有限の群 \(\mathbb{G}\) を有限群 (finite group) と呼び、有限群 \(\mathbb{G}\) に属する元の個数も (有限集合の意味の) 位数 (order) と呼び \(|G|\) と表すことができる。

例えば位数 \(n\) の整数集合を \(Z_n = \{0, 1, \ldots, n-1\}\) と定義する。\(a, b \in Z_n\) に対し \(a+b\) を \((a + b) \bmod n\) とすると群 \((Z_n, +)\) は有限な可換群となる。同様に、素数 \(p\) に対して \(Z_p^* = \{1, 2, \ldots, p-1\}\) と定義する。\(a, b \in Z_p^*\) に対して \(a \times b\) を \((a \times b) \bmod p\) とすると、\((Z_p^*, \times)\) は有限な可換群となる。

巡回群

集合 \(G\) がある一つの元 \(g\) の演算 \(\ast\) によって生成される群である場合、\(\mathbb{G}\) は巡回群 (cyclic group) である。つまり \(\mathbb{G}\) のすべての元は \(g\) の整数冪として表すことができる。\[ \mathbb{G} = \{\ldots,g^{-1}\ast g^{-1},g^{-1},1,g,g \ast g,\ldots\} = \langle g \rangle = \{g^n | n \in \mathbb{Z}\} \] ここで \(\mathbb{Z}\) は整数の全体からなる集合である。このような \(g\) を生成元 (generator) あるいは原始元 (primitive) と呼ぶ。巡回群は交換律を持つため可換群である。

• 結合律: \((g^a \ast g^b) \ast g^c = g^a \ast (g^b \ast g^c)\)
• 単位元: \(e=1\)
• 逆元: \(g^a \ast g^{-a} = g^{-a} \ast g^a = e = 1\)
• 交換律: \(g^a \ast g^b = g^b \ast g^a\)

素数の位数 \(p\) を持つ有限群 \(\mathbb{G}\) について考える。\(\mathbb{G}\) 上の単位元ではない任意の元 \(g\) の位数は \(p\) の約数となることから \(1\) か \(p\) かしか取り得ないが、前提 \(g \neq e\) より必然的に \(p\) となる。これは、元 \(g\) を生成元とした巡回群 \(\{1,g,g^2,\ldots,g^{p-1}\}\) が群 \(\mathbb{G}\) 自身と一致することを意味している。従って、素数位数を持ち \(|\mathbb{G}|\neq 1\) である群は巡回群となる。

加法群と乗法群

加減法とみなせる演算を持つ群を加法群 (additive group) と呼ぶ。加法群は単位元を 0 とし、\(a\) の逆元を \(-a\) で表すことができる可換群である。\(n\) 個の元 \(a\) の加算を \(a + \ldots + a = na\) と表す。

• 結合律: \((a + b) + c = a + (b + c)\)
• 単位元: \(e=0\)
• 逆元: \(a + (-a) = (-a) + a = e = 0\)
• 交換律: \(a + b = b + a\)

同様に、乗法とみなせる演算を持つ群を乗法群 (multicative group) と呼ぶ。乗法群は単位元を 1 とし、\(a\) の逆元を \(a^{-1}\) で表すことができる可換群である。\(a\) と \(b\) の乗算を \(ab\) と表し、\(n\) 個の元 \(a\) の乗算を \(a \times \ldots \times a = a^n\) と表す。

• 結合律: \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)
• 単位元: \(e=1\)
• 逆元: \(a \times a^{-1} = a^{-1} \times a = e = 1\)
• 交換律: \(a \times b = b \times a\)

巡回群 \(\mathbb{G}\) において生成元を \(g\) としたとき、

写像

準同形写像・同型写像

ある群 \((A, \ast)\) 上の要素 \(x_1, x_2, x_1 \ast x_2 \in A\) に対して \(f(x_1) \ast f(x_2) = f(x_1 \ast x_2)\) が成り立つ写像 \(f\) を準同型写像 (homomorphism) と呼ぶ。

また準同型写像であり全単射である写像は同型写像 (isomorphism) である。単射で準同型の写像を単準同型写像、全射で準同型の写像を全準同型写像

線形性・双線形性・多重線形性

一つの変数 \(x\) を取る写像 \(f\) が以下の 2 つの性質を満たすとき \(f\) は線形性 (linearity) を持つ^[1]。

• 加法性または重ね合わせ: 任意の \(x,y\) に対して \(f(x + y) = f(x) + f(y) \)
• 同次性: 任意の \(a,x\) に対して \(f(ax) = af(x)\)

加法性と同次性を組み合わせることで \(f(ax + by) = af(x) + bf(y)\) と表すこともできる。双線形性は単純な線形性を 2 つの変数に拡張した性質である。\[ \begin{eqnarray*} f(x_1 + x_2,y) & = & f(x_1,y) + f(x_2,y) \\ f(x,y_1 + y_2) & = & f(x,y_1) + f(x,y_2) \\ f(ax,y) & = & f(x,ay) = af(x,y) \end{eqnarray*} \] このような性質を持つ写像 \(f\) を双線形写像と言う。

同様に多重線形性は \(n\) 個の変数に拡張したバージョンである。

双線形写像

体 \(K\) 上の線形空間 \(\mathbb{V}\), \(\mathbb{W}\), \(\mathbb{Z}\) に対して、写像 \(f:\mathbb{V} \times \mathbb{W} \to \mathbb{Z}\) がそれぞれの変数に対して \(K\) 線形であるとき、すなはち \[ f(av_1+bv_2,w) = af(v_1,w) + bf(v_2,w), \ \ a,b \in K, v_1, v_2 \in \mathbb{V}, w \in \mathbb{W} \\ f(v,aw_1+bw_2) = af(v,w_1) + bf(v,w_2), \ \ a,b \in K, v \in \mathbb{V}, w_1,w_2 \in \mathbb{W} \] が成り立つとき \(f\) は双線形写像であると言う。特に \(\mathbb{Z}\) が \(\mathbb{K}\) であるとき、\(f\) は双線型形式 (bilinear form) と言う。双線形写像 \(\mathbb{V}\times\mathbb{W}\to\mathbb{Z}\) とテンソル積 \(\mathbb{V}\otimes\mathbb{W}\) から \(\mathbb{Z}\) への線形写像は一対一に対応する。

参考文献

1. Lecture Notes on Control Systems
2. John Bethencourt (2015) . ntro to Bilinear Maps