セキュリティ
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論文翻訳: Quadratic Span Programs and Succinct NIZKs without PCPs

Takami Torao 2013年の論文 #zk-SNARK
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Rosario Gennaro
Graig Gentry
Bryan Parno
Mariana Raykova

Abstract

我々は Quadratic Span Program (QSP) と呼ぶ NP 複雑性クラスの新しい特性化を導入する。これは Karchmer と Wigderson によって定義された Span Program の自然な拡張である。我々の主な動機は、NP ステートメントを迅速に構築し検証する簡潔な議論の構築である。QSP はこの作業に適しているようで、おそらく確率的検証可能証明 (PCPs; Probablistically Checkable Proofs) より優れている。

2010 年に Groth は双線形群の 42 の元のみで構成される Circuit-SAT の共通参照列 (CRS; common reference string) モデルにおいて NIZK 議論を構築した。興味深いことに彼の主張は (明示的に) PCP を使用していない。しかしこの方法にはいくつかの欠点がある。つまり、CRS サイズと Prover の計算はどちらも Curcuit サイズにおいて二次である。2011 年に Lipmaa は CRS サイズを準線形に縮小したが Prover の計算ではまだ二次であった。

我々は QSP を用いて 7 個の群元からなる Circuit-SAT に対する CRS モデルにおいて NIZK 議論を構成した。CRS サイズは Circuit サイズにおいて線形であり、Prover 計算は準線形であるためこのスキームは一見して非常に実用的である。(Prover は線形数の群操作を行うのみで良い; 準線形計算は多点評価と補間である。)

我々の結果は CRS サイズと Prover と Verifier 計算を低減するために論議の "Bootstrapping" (再帰的構成) を使用した Valiant (TCC 2008) と Bitansky ら (2012) の結果と相補的である。QSP はまた Groth と Lipmaa の構築の基礎となる手法のいくつかの鮮明な数学的抽象化を提供する。

Table of Contents

  1. Abstract
  2. 1 導入
    1. 1.1 二次スパンプログラム: NP の新しい特性 [under construction]
    2. 1.2 From QSPs to SNARKs and NIZKs
    3. 1.3 Comparisons to Other work on Succinct Arguments without PCPs
  3. 2 Quadratic span Programs (QSPs)
    1. 2.1 Component 1: A Useful Linear Span Program
    2. 2.2 Component 2: A Consistency Checker
    3. 2.3 Our Canonical QSP
    4. 2.4 QSP Efficiency considerations
  4. 3 Overview of Our Cryptographic Constructions and Security
    1. 3.1 Our SNARK Construction
    2. 3.2 Making the SNARK Statistical Zero-Knowledge (NIZKs)
    3. 3.3 Performance and Optimizations
    4. 3.4 Security
  5. 4 Cryptographic Constructions from Strong QSPs
    1. 4.1 Definitions: SNARGs, SNARKs, Verifiable Computation, NIZKs
      1. 4.1.1 Succinct Non-Interactive Arguments
      2. 4.1.2 Verifiable Computation
      3. 4.1.3 Non-Interactive Zero Knowledge
    2. 4.2 Verifiable Computation from Designated-Verifier SNARKs
    3. 4.3 Constructions of Designated-Verifier / Public-Verifier SNAKRKs from Strong QSPs
    4. 4.4 Zero-Knowledge SNARKs (including NIZKs) from Strong QSPs: How to Randomize Our SNARKs
    5. 4.5 Optimizations
      1. 4.5.1 Reducing the Verifier's Work without PCPs
      2. 4.5.2 Reducing the Verifier's Work with PCPs
      3. 4.5.3 Reducing the Verifier's Preprocessing: Combining Universal Circuits with the Hash Trick or PCPs
      4. 4.5.4 Even Shorter Proofs in the Designated-Verifier Setting
  6. 5 Security of Our Public-Verifier SNARK and NIZK
    1. 5.1 Assumptions
    2. 5.2 Lemmas
    3. 5.3 Security Theorem
  7. 6 Security: the Designated-Verifier Case
    1. 6.1 Assumptions
    2. 6.2 Security Theorem
  8. 7 Quadratic Programs for Arithmetic Circuits
    1. 7.1 Definitions: QAP and Strong QAP
    2. 7.2 QAPs for Arithmetic Circuits with One Multiplication Gate
    3. 7.3 Composition of QAPs, and QAPs for General Arithmetic Circuits
    4. 7.4 Illustration of a QP for a Simple Arithmetic Circuit
    5. 7.5 QAP Efficiency Considerations
  9. 8 SNARK Construction from QAP
    1. 8.1 Zero-Knowledge SNARKs (including NIZKs) from QAP
    2. 8.2 Designated-Verifier SNARK from QAP
  10. 9 Conclusions and Open Questions
  11. References
  12. 翻訳抄

1 導入

PCP 定理 [BFLS91, FGL+96, AS98, ALM+98] は NP の新しい特性を提供し "証明" の概念に革命をもたらした。特に、NP ステートメントには確率的に検証可能な証明 (PCP) があり、従来の証明のサイズで時間の対数で検証することができることが示された。Kilian は NP のこの新しい特性を暗号化設定に適合させ、PCP を使用して簡潔 (succient)、つまり通信複雑度において多対数な NP の対話的引数 (すなはち計算上の sound proof [BMC88]) を作成できることを示した。Micali [Mic00] は Flat-Shamir ヒューリスティック [FS86] を適用することでこれらの引数を非対話型にする方法を示した。すなはち、証明者はランダムオラクル [BR93] としてモデル化されたハッシュ関数を、コミットメントの形式、および検証者の PCP クエリーを非対話的に生成するために、その PCP データ列に適用する。最近の研究 [BCCT12a, GLR11, DFH12] ([CL08] も参照) はインスタンス化することができないことが知られているランダムオラクル [CGH04] を除外し "抽出可能な衝突耐性ハッシュ関数" (ECRH; extractable collision-resistance hash functions) に置き換えることによって Micali の構造を改善した。このセキュリティは、ECRH のイメージを計算する任意のアルゴリズムにはプレイメージを計算する抽出器 (アルゴリズムを監視する) が存在するという、もっともらしいが反証不可能 (non-falsifiable) [Nao03] な仮定に依存する1。これらの最近の構築は知識 (SNARKs) の簡潔な非対話的引数 (SNARGs; succinct non-interactive arguments) と呼ばれている。これは知識の仮定の下では SNARG はハッシュプレイメージ全体、すなはち PCP 全体の "知識" 抽出を可能にするからである。

手短に言えば、PCP 定理はとりわけ SNARG および SNARK を構築するために有用な NP の非常に強力な特徴付けを提供する。しかし PCP 定理が注目に値するように、暗号化アプリケーションのためだけに考えられたわけではない。従って (明示的に) PCP を使わず、より良い SNARG/SNARK を構築することができるだろうか? 暗号アプリケーションに適した NP の別の特徴はあるだろうか? と問うことは理にかなっているように思われる。

  • 1 我々は、簡潔な非対話的引数の安全性はブラックボックスの縮小 [AF07, GW11] を通じた偽造可能な仮定に基づくことができないことを知っている; 従ってこの文脈では反証不可能な "知識" 仮定は避けられないように思われる。

1.1 二次スパンプログラム: NP の新しい特性

我々は PCP なしで非常に効率的な SNARK を構築できる NP の新しい特性である二次スパンプログラム (quadratic span programs) (QSPs) を導入する。

QSP を説明するためには Karchmer and Wigdarson [KW93] によって導入された計算の線形代数モデルであるスパンプログラム (SPs) について思い出すことが役に立つ。体 \(F\) 上の SP は \(F\) 上の非ゼロ対象ベクトル \(\vector{t}\)、ベクトル集合 \(\vector{\mathcal{V}} = \{\vector{v}_1,\ldots,\vector{v}_m\}\)、二つの集合 \(\mathcal{L}_{\it labeled}\) と \(\mathcal{L}_{\it free}\) へのインデックス \(\mathcal{L} = \{1, \ldots, m\}\) の区画、および \(\mathcal{L}_{\it labeled}\) の \(\cup_{i \in [n],\ j \in \{0,1\}} \mathcal{L}_{ij}\) 区画で構成される。SP は全ての入力引数 \(u \in \{0,1\}^n\) に対して次が当てはまる場合に関数 \(f\) を "計算する" と言う: 対象ベクトルは入力引数 \(u\) に "属する" ベクトルのスパン内にある ─ つまり \(f(u) = 1\) である場合にのみ \(\mathcal{L}_u = \mathcal{L}_{\it free} \cup_i \mathcal{L}_{i, u_i}\) のインデックスを持つベクトルである。スパンプログラムのサイズは \(m\) である。

線形代数が \({\rm NC}^2\) にあることから多項式サイズの SP を持つ関数は \({\rm NC}^2\) にある。したがって SP は P の全ての関数を効率的に計算する (または全ての NP 関係を検証する) ほど強力ではないと広く信じられている。

我々はSP といくぶん似ている QSP を定義する。

定義 1 (Quadratic Span Program). 体 \(F\) 上の二次スパンプログラム (QSP) \(Q\) には、二つの多項式 \(\mathcal{V} = \{v_k(x): k \in \{0,\ldots,m\}\}\)、\(\mathcal{W}=\{w_k(x): k \in \{0,\ldots,m\}\}\) セットと一つの対象多項式 \(t(x)\) を含んでいる。これらは全て \(F[x]\) からである。\(Q\) にはまたインデックス \(\mathcal{L}=\{1,\ldots,m\}\) の 2 つのセット \(\mathcal{L}_{\it labeled}\) と \(\mathcal{L}_{\it free}\) への区画と、\(\mathcal{L}_{\it labeled}\) の \(\cup_{i \in [n],\ j \in \{0,1\}} \mathcal{L}_{ij}\) としての区画も含まれている。

入力 \(u \in \{0, 1\}^n\) について、入力 \(u\) に "属する" インデックスの集合を \(\mathcal{L}_u = \mathcal{L}_{\it free} \cup_i \mathcal{L}_{i,u_i}\) とする。\(Q\) は \(F^m\) からタプル \((a_1,\ldots,a_m)\) と \((b_1,\ldots,b_m)\) が存在し、全ての \(k \not\in \mathcal{L}_u\) に対して \(a_k = 0 = b_k\) であり \[ \begin{equation} t(x) \ \ {\rm divides} \ \ \left( v_0(x) + \sum_{k=1}^m a_k \cdot v_k(x) \right) \cdot \left( w_0(x) + \sum_{k=1}^m b_k \cdot w_k(x) \right) \end{equation} \] である場合にのみ入力 \(u\) を受け入れる。\(Q\) は \(f(u)=1\) の入力 \(u\) を正確に受け入れる場合にブール関数 \(f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}\) を "計算する"。\(Q\) のサイズは \(m\) である。\(Q\) の次数は \(\deg(t(x))\) である。

QSP は (線形) SP の自然な拡張のように思える。SP はターゲットベクトルが \(u\) に "属する" ベクトルの線形結合として表現できる場合に限り入力 \(u\) を受け入れる。QSP はターゲット多項式 (の乗算) が \(u\) に "属する" ベクトルの 2 つの線形結合の積として表現できる場合にのみ \(u\) を受け入れる。ここで "積" は多項式の乗算として定義される。

重要なことは、SP とは異なり QSP は任意の効率的に計算可能な関数を効率的に計算できることであり、従って NP を QSP によって効率的に検証できる証明を持つ言語のセットとして定義できることである。

定理 1 . (Informal) \(s\) 個のゲートとサイズが少なくとも \(d=O(s)\) の任意の体 \(F\) を持つ任意のブーリアン回路 \(f\) に対して、\(f\) を計算する \(F\) 上のサイズと (小さな定数を持つ) 次数 \(O(s)\)の QSP が存在する。

1.2 From QSPs to SNARKs and NIZKs

1.3 Comparisons to Other work on Succinct Arguments without PCPs

2 Quadratic span Programs (QSPs)

2.1 Component 1: A Useful Linear Span Program

2.2 Component 2: A Consistency Checker

2.3 Our Canonical QSP

2.4 QSP Efficiency considerations

3 Overview of Our Cryptographic Constructions and Security

3.1 Our SNARK Construction

3.2 Making the SNARK Statistical Zero-Knowledge (NIZKs)

3.3 Performance and Optimizations

3.4 Security

4 Cryptographic Constructions from Strong QSPs

4.1 Definitions: SNARGs, SNARKs, Verifiable Computation, NIZKs

4.1.1 Succinct Non-Interactive Arguments

4.1.2 Verifiable Computation

4.1.3 Non-Interactive Zero Knowledge

4.2 Verifiable Computation from Designated-Verifier SNARKs

4.3 Constructions of Designated-Verifier / Public-Verifier SNAKRKs from Strong QSPs

4.4 Zero-Knowledge SNARKs (including NIZKs) from Strong QSPs: How to Randomize Our SNARKs

4.5 Optimizations

4.5.1 Reducing the Verifier's Work without PCPs

4.5.2 Reducing the Verifier's Work with PCPs

4.5.3 Reducing the Verifier's Preprocessing: Combining Universal Circuits with the Hash Trick or PCPs

4.5.4 Even Shorter Proofs in the Designated-Verifier Setting

5 Security of Our Public-Verifier SNARK and NIZK

5.1 Assumptions

5.2 Lemmas

5.3 Security Theorem

6 Security: the Designated-Verifier Case

6.1 Assumptions

6.2 Security Theorem

7 Quadratic Programs for Arithmetic Circuits

7.1 Definitions: QAP and Strong QAP

7.2 QAPs for Arithmetic Circuits with One Multiplication Gate

7.3 Composition of QAPs, and QAPs for General Arithmetic Circuits

7.4 Illustration of a QP for a Simple Arithmetic Circuit

7.5 QAP Efficiency Considerations

8 SNARK Construction from QAP

8.1 Zero-Knowledge SNARKs (including NIZKs) from QAP

8.2 Designated-Verifier SNARK from QAP

9 Conclusions and Open Questions

References

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翻訳抄

  1. Rosario Gennaro, Craig Gentry, Bryan Parno, Mariana Raykova, Quadratic Span Programs and Succient NIZKs without PCPs, In Advances in Cryptology-EUROCRYPT 2013, 32nd Annual International Conference on the Theory and Applications of Cryptographic Techniques, Athens, Greece, May 26-30, 2013. Proceedings, pp.626-645 (2013)